Что такое математическая вероятность случайного события?

Понятие математической вероятности сформировалось в науке в середине XVII века, благодаря работам французских учёных Б.Паскаля и П.Ферма и голландского учёного X. Гюйгенса, и было связано с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. С тех пор математическую вероятность определяют как числовую характеристику степени возможности появления какого-либо определённого события в тех или иных определённых условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз.

Численное значение вероятности рассчитывается из классического определения, по которому вероятность равна отношению числа случаев, «благоприятствующих» данному событию, к общему числу «равновозможных» случаев. Математическую вероятность случайного события сопоставляют с частотой повторения этого события, т.е. имеется в виду следующее: при конечном числе n повторений заданных событий доля числа случаев m равна частоте m/n, которая, как правило, мало отличается от вероятности этого случая р. Чем больше число повторений n, тем реже встречаются сколько-либо значительные отклонения частоты m/n от вероятности р. Для пояснения этого обстоятельства рассмотрим пример подбрасывания монеты, в котором вероятность появления орла и решки одинаковы и равны 1/2. При десяти подбрасываниях (n = 10) появление десяти орлов или десяти решек очень мало вероятно. Но и утверждать, что орел выпадет ровно пять раз, нет достаточных оснований. Более того, утверждая, что решка выпадает 4, 5 или 6 раз, мы, все равно, сильно рискуем ошибиться. А вот при ста подбрасываниях монеты можно уже без практически ощутимого риска заранее утверждать, что число выпавших орлов будет от 40 до 60.

Разновидности вероятности

Когда мы рассчитываем вероятность выпадения орла или решки при подбрасывании монеты, мы уверены, что точно знаем все возможные результаты этих подбрасываний. Мы предполагаем, что монета может упасть только на одну из своих сторон, поэтому мы будет удивлены, когда монета упадет, например, на ребро. Но и этот результат мы можем тоже учесть. А бывают ситуации, результат развития которых мы не в состоянии оценить, потому что они зависят от многих факторов, которые мы не можем знать. Например, предсказание стихийных бедствий является очень сложной научной проблемой, которой занимается теория катастроф. В этом случае мы имеем дело не с определенными результатами развития событий (орел, решка, ребро), а с возможными и предполагаемыми, т.е. с гипотезами. Английский математик Томас Байес (1701-1761) трактовал неопределенность как неполное знание и предложил вычислять математическую вероятность на основе статистических данных, т.е. прошлого опыта или статистики совершения подобных событий в прошлом.

Например, если рост человека составляет более 2,15 м, то с вероятностью, основанной на статистических данных о росте баскетболистов, 60% речь идет о баскетболисте, если же у него руках баскетбольный мяч, то вероятность увеличивается до 72%. Тогда, согласно правилу Байеса, можно вычислить комбинированную вероятность, которая составит 79%.

Но в повседневной жизни мы не производим на каждом шагу расчеты (например, чему равна вероятность того, что я сегодня не опоздаю на работу?), а просто живем, «на глазок» прикидывая, к чему приведут нас предпринятые действия. Всегда ли мы правы в своих интуитивных прикидках?

В 1979 Даниэл Канеман и Амос Тверски опубликовали статью «Теория перспектив: анализ принятия решений в условиях риска», которая положила так называемой поведенческой экономике (behavioral economics). В этой работе ученые представили результаты проведенных ими психологических опытов, которые доказали, что люди не могут рационально оценивать величины ожидаемых выгод или потерь, а тем более, количественные значения вероятности случайных событий. Оказывается, люди склонны ошибаться при оценке вероятности: они недооценивают вероятность событий, которые, скорее всего, произойдут, и переоценивают гораздо менее вероятные события. Ученые обнаружили, что математики, хорошо знающие теорию вероятностей, в реальных жизненных ситуациях не используют свои знания, а исходят из сложившихся у них стереотипов, предрассудков и эмоций. Вместо теорий принятия решений, основывающихся на теории вероятностей, Д.Канеман и А.Тверски предложили новую теорию – теорию перспективы (prospect theory). Согласно этой теории, нормальный человек не способен правильно оценивать будущие выгоды в абсолютном выражении, на самом деле он оценивает их в сравнении с некоторым общепринятым стандартом, стремясь, прежде всего, избежать ухудшения своего положения.

Как мы оцениваем вероятность?

Можно с уверенностью сказать – субъективно. Как осуществляется интуитивная числовая оценка, хорошо иллюстрирует следующий эксперимент. Двум группам учащихся средней школы было предложено в течение 5 секунд оценить числовое значение 8!, т.е. числовое значение факториала числа 8, которое равно 40320. Одной группе было предложено выражение

8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1,

а другой группе то же самое выражение, но записанное в обратном порядке:

1 ´ 2 ´ 3 ´ 4 ´ 5 ´ 6 ´ 7 ´ 8.

Результаты оценки были ошеломляющий: в первой группе средний результат равнялся 512, во второй – 2250.

Приблизительно так же мы оцениваем вероятность случайных событий, когда попадаем в ситуацию неопределенности, т.е. очень неточно!

Субъективная вероятность

Субъективная оценка вероятности похожа на субъективную оценку физических величин, таких как расстояние или размер. Так, предположительное расстояние до объекта во многом зависит от четкости его изображения: чем четче виден объект, тем он кажется ближе. Именно поэтому возрастает число аварий на дорогах во время тумана: при плохой видимости расстояния часто переоцениваются, потому что контуры объектов размыты. Таким образом, использование четкости в качестве показателя расстояния ведет к распространенным предубеждениям. Такие предубеждения проявляются себя и в интуитивной оценке вероятности.

Репрезентативность

Слово «репрезентативность» означает представленность, отображение одного в другом или на другое, то есть речь идет о внутреннем представлении чего-то, сформированном в процессе жизни человека, в котором представлена у него картина мира, общества и самого себя. Чаще всего люди оценивают вероятность посредством репрезентативности, а предшествующими вероятностями, которые рекомендовал рассчитывать Томас Байес, пренебрегают.

Д.Канеманом и А.Тверски был проведен такой эксперимент. Испытуемым показывали краткие описания нескольких людей, выбранных наугад из группы 100 специалистов — инженеров и адвокатов. Тестируемых просили оценить для каждого описания специалиста вероятность того, что оно принадлежит скорее инженеру, чес адвокату. В одном экспериментальном случае испытуемым сообщалось, что группа, описания из которой были даны, состоит из 70 инженеров и 30 адвокатов. В другом случае испытуемым сообщалось, что группа состоит из 30 инженеров и 70 адвокатов. Шансы того, что каждое отдельное описание принадлежит скорее инженеру, чем адвокату, должна быть выше в первом случае, где большинство инженеров, чем во втором, где большинство адвокатов, что строго математически можно доказать, применяя правило Байеса. Испытуемые же, грубо нарушая правило Байеса, в обоих случаях продемонстрировали одинаковые оценки вероятности. Очевидно, участники эксперимента оценили вероятность того, что конкретное описание принадлежит скорее инженеру, чем адвокату как степень, в которой это описание было репрезентативно этим двум стереотипам, мало учитывая, если учитывая вообще, предшествующие вероятности этих категорий.

Когда же испытуемым не предлагались краткие описания личностей, они оценивали вероятность того, что неизвестный человек является инженером, как 0,7 и 0,3 соответственно в обоих случаях при соответствующих заданных частотах. Однако предшествующие вероятности полностью игнорировались, когда было представлено описание, даже если оно было полностью неинформативным, например, таким:

«Дик – 30-летний мужчина. Женат, еще не имеет детей. Очень способный и мотивированный сотрудник, подает большие надежды. Пользуется признанием у коллег».

Это описание было задумано таким образом, чтобы не предоставить информацию о том, является ли Дик инженером или адвокатом. Следовательно, вероятность того, что Дик является инженером, должна равняться пропорции инженеров в группе, как если бы не было дано описание вовсе.

Испытуемые, однако, оценили вероятность того, что Дик является инженером, как 0,5 независимо от того, какая пропорция инженеров была в группе (7 к 3 или 3 к 7). Очевидно, люди реагируют по-разному в ситуациях, когда описание отсутствует и когда дано бесполезное описание. В случае, когда описание отсутствует, предшествующие вероятности используются должным образом, а когда дается бесполезное описание, предшествующие вероятности игнорируются.

Рассмотрим еще пример. Испытуемым была предложена следующая задачка.

«В городе были обследованы все семьи, в которых было шестеро детей. Как Вы считаете, каких семей было больше: тех, в которых мальчики и девочки рождались в таком порядке – МММДДД, или тех, в которых последовательность рождений мальчиков и девочек была такой – ДММДМД?»

Тестируемые сочли первую последовательность менее вероятной, чем вторую, хотя на самом деле обе последовательности одинаково вероятны, но большинство людей считают их не одинаково репрезентативными.

Закон больших чисел

Одним из основных положений теории вероятностей является Закон больших чисел, выраженный в ряде теорем, важнейшая из которых была доказана в середине XIX века российским математиком П.Л.Чебышевым. Закон больших чисел гласит, что совместное действие большой совокупности случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к среднему результату, почти не зависящему от случая. Иными словами, в случае достаточно большой выборки (например, очень большого числа подбрасываний монеты) возможно значительное количество маловероятных совпадений (количество выпадений орлов и решек будет одинаково).

Ошибка игрока в казино

Суть ошибки игрока в казино – неправильное представление о справедливости закона больших чисел. Игроку кажется, что равнозначность сторон монеты дает ему право ожидать, что любое отклонение в одном направлении будет скоро скомпенсировано соответствующим отклонением в другую сторону. Действительно, некоторые распространенные процессы в природе подчиняются таким законам: отклонение от устойчивого равновесия порождает силу, которая восстанавливает равновесие. Законы вероятности, напротив, не работают подобным образом: отклонения не отменяются по мере перебора элементов выборки. Многие же люди считают, что процессы в выборке – это самокорректирующиеся процессы.

Рассмотрим человека, чьи субъективные вероятности для всех возможных результатов подбрасывания монеты отражают ошибку игрока в казино. Этот человек будет уверен в том, что вероятность появления решки при каждом конкретном подбрасывании увеличивается с числом последовательно выпавших орлов, которые предшествовали этому подбрасыванию Суждения такого человека могут быть внутренне, или субъективно, последовательными и поэтому приемлемыми как адекватные субъективные вероятности. Однако эти вероятности не будут совместимы с тем фактом, что у монеты нет памяти, и поэтому монета не способна производить последовательные зависимости в соответствии с законом больших чисел.

Исследования восприятия случайных событий показывают, что, когда людей просят смоделировать случайный процесс, такой же, как серии подбрасываний монеты, они создают последовательности, которые репрезентативны закону больших чисел локально, то есть на коротком отрезке. Ошибка игрока в казино является проявлением убежденности в локальной репрезентативности: если соотношение двух результатов сохраняются на коротких отрезках, то за длинной последовательностью одного результата для восстановления равновесия должен идти другой результат.

Американский математик Уильям Феллер в одной из своих книг по теории вероятностей описывает пример, который иллюстрирует ошибочную веру в локальную репрезентативность. Во время интенсивной бомбежки Лондона во вторую Мировую войну, считалось, что выбор целей бомбежки не может быть случайным, потому что некоторые районы города были поражены несколько раз, в то время как на многие другие районы бомбы не падали совсем. Таким образом, рисунок попаданий бомб нарушил закон локальной репрезентативности, а гипотеза случайности попаданий казалась недопустимой. Чтобы проверить эту гипотезу, всю территорию Лондона разделили на маленькие области равной площади. Фактическое распределение попаданий бомб на этих участках сравнили с ожидаемым распределением согласно предположению о том, что бомбежки велись по случайному принципу. Вопреки ожиданиям, было получено очень сильное соответствие между распределениями. По мнению У.Феллера, для нетренированного глаза случайность кажется упорядоченностью или тенденцией к группировке.

Впоследствии был даже введен термин – «заблуждение стрелка», обозначающий иллюзии скопления. Этот термин возник благодаря истории о некоем техасце, который от нечего делать начал не целясь палить по задней стенке своего амбара. В результате этого развлечения следы от пуль случайным образом образовали округлую фигуру, в которой стрелявший узрел глаз быка.

Так, в эпидемиологии, когда фиксируют отдельные случаи какого-либо заболевания, зачастую создается иллюзия многочисленности заболевших, проживающих в географически компактном участке, что приводит к поиску причинной связи между заболеванием и местным окружением. Таким образом, случайные взаимосвязи рассматриваются как статистически значимые.

Доступность

Бывают ситуации, в которых люди оценивают вероятность событий на основе легкости, с которой они вспоминают примеры случаев или событий. Например, можно оценивать вероятность риска сердечного приступа среди людей средних лет, вспоминая такие случаи среди своих знакомых. Тогда более молодые люди будут утверждать, что таких случаев мало, а более старшие, что таких случаев много., и соответственно рассчитывать субъективную вероятность сердечного приступа, например, у своих близких или у себя.

Легкая доступность восстановления событий в памяти способствует формированию предубеждений в оценке вероятности события. Например, был проведен такой эксперимент. Нескольким группам испытуемых зачитывали список известных людей обоих полов и затем попросили оценить, каких имен в списке было больше – мужских или женских. При этом разным группам предлагали разные списки. В одних списках мужчины были более известны, чем женщины, а в других — женщины были более известны, чем мужчины, хотя общее число мужчин и женщин во всех списках было одинаково. Испытуемые ошибочно утверждали, что пол, к которому принадлежали более известные люди, был более многочисленным.

Неопределенность порождает субъективность

Неопределенность – это факт, с которым все формы жизни вынуждены бороться. На всех уровнях биологической сложности существует неопределенность относительно возможных последствий событий и действий, и на всех уровнях действие должно предприниматься до того, как прояснена неопределенность. И должен быть достигнут надлежащий баланс между высшим уровнем специфической готовности к событиям, которые произойдут с наибольшей вероятностью, и общей способностью реагировать соответствующим образом, когда случается непредвиденное. Таким образом, перед нами вырисовывается некая модель поведения субъекта в ситуации неопределенности, и это поведение в свою является неопределнным в силу своей субъективности. Индивидуальность, производящая действие или принимающая решение, опирается на свои субъективные предпочтения. В идеале степени предпочтений должны быть согласованы с аксиомами теории вероятностей, но, увы, рациональный идеал никогда не достижим фактически, хотя и может служить в качестве определенного стандарта.

Томас Байес родился в 1702 году в Лондоне, в семье одного из первых шести пресвитерианских священников в Англии. По существовавшим среди кальвинистов правилам, как сын духовного лица Байес получил сугубо домашнее образование, рано проявил очень большие способности к математике, однако пошел по стопам отца и в 1720-е годы стал священником пресвитерианского прихода в городке Танбридж Уэллс, что примерно в 50 километрах от Лондона. На духовной службе Байес оставался вплоть до 1752 года, после отставки продолжал жить в Танбридж Уэллсе, здесь же и закончил свою жизнь еще 9 лет спустя, 17 апреля 1761 года.

Среди современных ему английских ученых Байес был человеком весьма известным и в 1742 году был избран в члены Лондонского Королевского общества, даже несмотря на тот факт, что священником не было опубликовано ни одной работы по математике. Более того, при жизни Байеса, строго говоря, под его именем не вышло вообще ни одной научной работы. Единственная работа отца Байеса, опубликованная им под своим именем (в 1731 году), носила сугубо теологический характер и имела характерно предлинное для той эпохи название «Благость Господня, или попытка доказать, что конечной целью божественного провидения и направления является счастье его созданий». Помимо этой работы, в 1736 году Байесом анонимно была опубликована статья «Введение в теорию флюксий, или В защиту математиков от нападок автора The Analyst (Комментатора)». Здесь Байес защищал ньютоновскую теорию дифференциального исчисления от атаки Джорджа Беркли, пытавшегося с метафизических позиций раскритиковать неправильные, на его взгляд, логические основания мощнейшей математической теории.

Что же касается фундаментального исследования Байеса в области теории вероятностей, то оно было изложено им в «Эссе о решении проблем в теории случайных событий». Эту работу математика лишь после его смерти обнаружил друг Ричард Прайс, который и переслал статью в академию. В 1764 году это «Эссе» было опубликовано в «Трудах Лондонского Королевского общества».

Теорема Байеса, имеющая сегодня сильнейшее влияние насовременные разработки программного обеспечения, имеет дело с расчетом вероятности верности гипотезы в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. Главная особенность теоремы Байеса в том, что для ее практического применения обычно требуется огромное количество вычислений-пересчетов, именно поэтому расцвет методов байесовых оценок пришелся на революцию в компьютерных информационных технологиях.

Даниэл Канеман (род. в Тель-Авиве 1934) – израильско-американский психолог, один из основоположников психологической (поведенческой) экономической теории, лауреат Нобелевской премии по экономике 2002 «за применение психологической методики в экономической науке, в особенности – при исследовании формирования суждений и принятия решений в условиях неопределенности» (совместно с В.Смитом).

Жизнь Д.Канемана ярко демонстрирует космополитизм современных ученых. Начав учебу в Еврейском университете в Иерусалиме (в 1954 г. получил степень бакалавра по специальности «психология и математика»), Канеман закончил ее уже в Калифорнийском университете Беркли (в 1961 г. получил докторская степень по специальности «психология»). На протяжении последующих 17 лет он преподавал в Еврейском университете Иерусалима, совмещая это с работой в ряде университетов США и Европы (Кембридж, Гарвард, Беркли). С конца 1970-х Канеман на время отошел от работы в Израиле, занимаясь совместными научными проектами с американскими и канадскими учеными в научно-исследовательских центрах этих стран. С 1993 он работает профессором в Принстонском университете США, с 2000 параллельно вновь ведет обучение в Еврейском университете Иерусалима.

Хотя по образованию и профессии Д.Канеман является психологом, присуждение ему Нобелевской премии по экономике в 2002 вызвало одобрение среди экономистов, признающих большое значение его трудов для экономической науки. Канеман стал первым израильтянином и вторым «не-экономистом» (после математика Джона Нэша), который получил Нобелевскую премию по экономике.

Главный объект исследований Канемана – это механизмы принятия человеком решений в ситуации неопределенности. Он доказал, что принимаемые людьми решения существенно отклоняются от того, что предписано стандартной экономической моделью homo oeconomicus. Критикой модели «человека экономического» занимались и до Канемана, но именно он и его коллеги впервые начали систематически изучать психологию принятия решений.

По мнению Нобелевского комитета, продемонстрировав, насколько плохо люди умеют прогнозировать будущее, Д.Канеман «с достаточным основанием поставил под вопрос практическую ценность фундаментальных постулатов экономической теории».

Конечно, в этом есть заслуга не одного Канемана, большого приверженца научного соавторства. Во время награждения он откровенно признал, что честь быть удостоенным Нобелевской премии редко отражает вклад в науку одного человека. «Это особенно характерно в моем случае, так как я получил премию за работу, которую делал много лет назад с моим близким другом и коллегой Амосом Тверски, ушедшим из жизни в 1996 году. Мысль об его отсутствии в этот день очень печалит меня», – сказал Канеман.

Автор Наталья Коган
Источник: Журнал «Наука и техника», № 6, 2008

Опубликовано: May 11, 2009, 10:07 pm

Ключевые слова (теги): субъективная вероятность

Источник: flogiston.ru Как мы принимаем решения, или что такое субъективная вероятность